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由于篇幅限制分为三篇：
3. 压缩感知
参考链接~
首先，CS中的compressed不同于传统的compression，compressed是一个降采样的过程。不是信源编码意义上的compression，因为在CS中没有关于原始信号像素域的任何信息，仅仅只有观测域信息。
3.1 理论介绍
3.1.1 信号采样
压缩感知定义：
传统的信号采样过程要满足采样频率不能低于 模拟信号频谱中最高频率的2倍的奈奎斯特采样定理。然而，随着信息需求量的飞速增长，信号带宽也必须急速增加，因此对信号处理能力以及硬件设备的要求也越来越高, 给巨量数据处理带来了困难。另外, 实际应用中人们常采用各种压缩、编码方式，抛弃非重要数据，以较少的比特数表示信号来降低存储、处理和传输的负担, 这种高速采样再压缩编码的过程浪费了大量的采样资源。既然采集数据之后要压缩掉冗余信息，而这个过程又相对较难，那么能否直接采集压缩后的数据，并保证在信息没有损失的情况下能够完全重建原信号，这样采集的任务要轻得多，而且还省去了压缩的麻烦。这就是所谓的“压缩感知”，即直接感知压缩了的信息。
压缩感知重构：
压缩感知理论 (Compressed sensing, CS) 的概念及相关理论框架。该理论认为只要信号是稀疏的或在变换域是稀疏的, 便能用一个与稀疏基不相关的观测矩阵将高维信号投影到一个低维空间上, 这些少量投影包含了重构信号的足够信息, 因此可通过求解优化问题用这些投影以高概率重构出原信号. 采样速率不再决定于信号带宽, 而决定于信号中信息的结构和内容, CS 理论为信息采集和处理技术带来了一次颠覆性的突破。
压缩感知也被称为压缩采样 （Compressed Sampling），它针对信号的稀疏性特点，通过合理的采样方式，将压缩和采样同时进行，仅仅通过少量的采样数据恢复获得全部的有效信息。
应用：动态视频数据（高相关性数据，具有极强的可压缩性）
压缩感知本质是由低维数据恢复到高维数据，图像的超分辨率重建满足同样的数据流向
3.1.2 稀疏性
自然界的信号往往存在很大的冗余性，比如空间信息丰富的场景往往在频域内仅仅有极少量的有效系数，或者信号本身含有大量的 0 元素，只有少数位置具有有效信息，这种信号特点被称为稀疏性。
投影即采样（感知），降维即压缩，两个过程同时进行的方式被称为“压缩采样（感知）”
信号的稀疏性：这些像素间所承载的信息具有较大的相关性，具体表现出在 空间具有一定的平滑特性等，比如以天空为背景的飞机等目标场景，场景内大多数都是平滑区域，意味着数据具有巨大的冗余性。
测量矩阵应该具有的性质：Spark条件、NSP性质、RIP性质、Coherence性质
如果x本身不具备稀疏条件，则需要进行稀疏变换𝒚 = 𝜱𝒙 = 𝜱𝜳𝜽 = 𝜣𝜽，，其中𝜣 = 𝜱𝜳被称为压缩感知矩阵，𝜽被称为稀疏系数向量。
3.1.3 观测矩阵*
参考链接~
有两类：
- 元素独立同分布的随机观测矩阵
- 随机观测矩阵与绝大多数稀疏信号不相关, 精确重建需要的测量数较小, 但存储空间大, 计算复杂度高。具有不确定性, 需要用多次求平均的方法来消除, 在硬件电路中也难以实现。
- 确定性观测矩阵
- 不需要大量重复实验来确定其稳定性, 但随着值的增大, 观测矩阵构造时间会快速增长。 硬件实现容易, 且构造时间短。但是当分块太多时, 会降低重建效果。
在设计以“计算成像”为中心的系统时，算法在图像的形成和恢复过程中起着关键的作用。如果我们将一维透镜视为光学系统的“抽象概念”，那么针孔点扩散函数映射为狄拉克函数，而孔径半径为的有限孔径透镜映射为长度为的盒函数。 编码孔径是由多个孔径开口组成的更一般的设置，这些开口映射到时域中具有不同宽度和延迟的盒函数，如下图所示。
因此，我们得到了不同宽度和调制的函数。编码光圈设计既不是完全开放的透镜，也不是针孔，而是介于两者之间的东西。例如，它可能由不同位置的多个有限孔组成，通常是精心选择以优化特定的设计准则。
如上图所示，我们看到如果没有对孔径进行编码的情况下，孔径映射到一个一维的盒函数。这个一维盒子函数的傅里叶变换是正弦函数。可看出，函数周期性地接触零，导致这些频率上的信息永久丢失，导致图像模糊。
之后我们看下存在一个针孔大小的孔径，其尽管在实践中有一个可测量的尺寸，但由于针孔半径小，可以建模为狄拉克函数。这个函数的傅里叶变换是一个常数函数。因此，在针孔照相机的情况下，不会丢失信息。但如果针孔直径接近光波长，成像结果就会受到衍射的影响，导致图像失真。
3.2 重构算法
由于 m<n，压缩感知对应的线性方程：
是一个欠定方程，方程具有无解和无穷多解两种可能，排除无解情况，压缩感知重构算法的核心问题就是从无穷多组解中求出所需要的特解，除了满足线性方程条件外，需要增加特定约束条件以实现对该特解的选取。
（因为从几何角度分析，0范数和1范数近乎得到相似的解）
即如下模型：
其中为重建误差。
3.3 CHI
单像素相机获得场景目标的压缩采样数据，然后利用色散介质将压缩采样值中包含的光谱信息在探测器平面上区分开来，采用高光谱探测器阵列接收相应波段的压缩采样数据，最后通过稀疏重构算法从少量的采样数据中估计出各个波段的高光谱图像。
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